Евклид.
Евклид, 1) греч. философ, ученик Сократа, основатель мегарской школы; жил около 400 до Р. Хр.
Выставил положение, что добро есть единое, вечно себе равное бытие и только людьми называемое
различными именами.-2) Знаменитый математик, около 300 до Р. Хр., при Птолемее Сотере в
Александрии, привел в научную систему известную тогда чистую математику в своих =Элементах?
(=Stoicheia?, лучш. изд. August, 1826-29). Соч. изд. Heiberg и Menge (1883-96).
ЕВКЛИД (III в. до н.э.) - древнегреческий учёный. Биографические данные о нём весьма ограничены,
известно лишь, что его деятельность проходила в Александрии в начале III в. до н.э.
Является автором первого дошедшего до нас трактата по математике («Начала«), в котором подведён
итог предшествующему развитию древнегреческой математики, в частности изложены планиметрия,
стереометрия и ряд вопросов теории чисел. Создатель геометрической системы (евклидовой
геометрии), на которой основывается вся классическая физика.
В трактатах Евклида «Оптика» и «Катоптрика» изложены его оптические исследования. Вслед за
Платоном он признаёт теорию зрительных лучей (эти лучи - прямые линии). Сформулировал закон
прямолинейного распространения света и закон отражения света. В своих трудах рассматривал
образование тени, получение изображения с помощью малых отверстий, явления, связанные с
отражением от плоских и сферических зеркал. Всё это даёт основание считать Евклида
основоположником геометрической оптики.
О жизни Евклида почти ничего не известно. Некоторые биографические данные сохранились на
страницах арабской рукописи XII века: "Евклид, сын Наукрата, известный под именем "Геометра",
ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира".
Он родился в Афинах, учился в Академии. В начале 3 века до н.э. переехал в Александрию и там
основал математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд, объединенный
под общим названием "Начала". Он был написан около 325 года до нашей эры.
В арифметике Евклид сделал три значительных открытия. Во-первых, он сформулировал (без
доказательства) теорему о делении с остатком. Во-вторых, он придумал "алгоритм Евклида" -
быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков (если
они соизмеримы). Наконец, Евклид первый начал изучать свойства простых чисел - и доказал, что
их множество бесконечно.
Сведения о времени и месте его рождения до нас не дошли, однако известно, что Евклид жил в
Александрии и расцвет его деятельности приходится на время царствования в Египте Птолемея I
Сотера. Известно также, что Евклид был моложе учеников Платона (427347 до н. э.), но старше
Архимеда (ок. 287212 до н. э.), так как, с одной стороны, был платоником и хорошо знал философию
Платона (именно поэтому он закончил «Начала» изложением т. н. платоновых тел, т. е. пяти
правильных многогранников), а с другой стороны его имя упоминается в первом из двух писем
Архимеда к Досифею «О шаре и цилиндре». С именем Евклида связывают становление александрийской
математики (геометрической алгебры) как науки.
Прокл в комментариях к первой книге «Начал» приводит известный анекдот о вопросе, который будто
бы задал Птолемей Евклиду: «Нет ли в геометрии более краткого пути, чем (тот, который изложен)
в «Началах»? На что Евклид якобы ответил, что «в геометрии не существует царской дороги»
(аналогичный анекдот рассказывается также об Александре и ученике Евдокса Менехме, так что он
принадлежит, видимо, к числу «бродячих сюжетов»).
«Начала»
Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее знамениты «Начала», состоящие из 15 книг. В 1-й
книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы
планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора. Во 2-й книге
излагаются основы геометрической алгебры. 3-я книга посвящена свойствам круга, его касательных
и хорд. В 4-й книге рассматриваются правильные многоугольники, причем построение правильного
пятнадцатиугольника принадлежит, видимо, самому Евклиду. Книга 5-я и 6-я посвящены теории
отношений и ее применению к решению алгебраических задач. Книга 7-я, 8-я и 9-я посвящены теории
целых и рациональных чисел, разработанной пифагорейцами не позднее 5 в. до н. э. Эти три книги
написаны, по-видимому, на основе не дошедших до нас сочинений Архита. В книге 10-й
рассматриваются квадратичные иррациональности и излагаются результаты, полученные Теэтетом.
В книге 11-й рассматриваются основы стереометрии. В 12-й книге с помощью исчерпывания метода
Евдокса доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара, выводятся отношения
объемов пирамид, конусов, призм и цилиндров. В основу 13-й книги легли результаты, полученные
Теэтетом в области правильных многогранников. Книги 14-я и 15-я не принадлежат Евклиду, они
были написаны позднее: 14-я во 2 в. до н. э., а 15-я в 6 в.
"Начала"
Первые четыре книги "Начал" посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные
свойства прямолинейных фигур и окружностей.
Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный
характер, поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка есть то, что не имеет
частей". "Линия же - длина без ширины". "Прямая линия есть та, которая равно расположена по
отношению точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину" и т.д.
За этими определениями следуют пять постулатов: "Допустим:
1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;
2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;
3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;
4) и что все прямые углы равны между собой;
5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше
двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы
меньше двух прямых."
Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый
постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались
вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в.
обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет
право на существование. Затем Эвклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность
постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам. Далее Эвклид
доказывает в книге I элементарные свойства треугольников, среди которых - условия равенства.
Затем описываются некоторые геометрические построения, такие, как построение биссектрисы угла,
середины отрезка и перпендикуляра к прямой. В книгу I включены также теория параллельных и
вычисление площадей некоторых плоских фигур (треугольников, параллелограммов и квадратов).
В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора.
Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически.
Числа заменены отрезками прямой. Книга III целиком посвящена геометрии окружности, а в книге IV
изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.
Теория пропорций, разработанная в книге V,одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам
и к несоизмеримым величинам. Эвклид включал в понятие "величины" длины, площади, объемы, веса,
углы, временные интервалы и т. д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но
избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Первые
определения книги V "Начал" Эвклида: 1. Часть есть величина (от) величины, меньшая (от) большей,
если она измеряет большую. 2. Кратное же - большая (от) меньшей, если она измеряется меньшей.
3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству. 4. Говорят, что
величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 5.
Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если
равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно
меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если
взять их в соответственном порядке. 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются
пропорциональными. Из восемнадцати определений, помещенных в начале всей книги, и общих понятий,
сформулированных в книге I, с восхитительным изяществом и почти без логических недочетов Эвклид
вывел (не прибегая к постулатам, содержание которых было геометрическим) двадцать теорем, в
которых устанавливались свойства величин и их отношений.
В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на
плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем "подобные прямолинейные фигуры суть те,
которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные". Книги VII,
VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам.
В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения,
строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность,
делимость и т.д.), приведем, например, предложение 20 книги IX, устанавливающее существование
бесконечного множества "первых", т.е. простых чисел: "Первых чисел существует больше всякого
предложенного количества первых чисел". Его доказательство от противного до сих пор можно найти
в учебниках по алгебре.
Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин,
которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Вот как сформулировано
предложение 1 в книге X "Начал" Эвклида: "Если заданы две неравные величины и из большей
вычитается часть, большая половины, а из остатка - снова часть, большая половины, и это
повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных
величин". На современном языке: Если a и b - положительные вещественные числа и a >b, то всегда
существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометрических
преобразований.
Книга XI посвящена стереометрии. В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с
помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников.
Предметом книги XIII является построение правильных многогранников. Построение Платоновых тел,
которым, по-видимому завершаются "Начала", дало основание причислить Эвклида к последователям
философии Платона.
Другие сочинения
Вторым после «Начал» сочинением Евклида обычно называют «Данные» введение в геометрический
анализ. Евклиду принадлежат также «Явления», посвященные элементарной сферической астрономии,
«Оптика» и «Катоптрика», небольшой трактат «Сечения канона» (содержит десять задач о музыкальных
интервалах), сборник задач по делению площадей фигур «О делениях» (дошел до нас в арабском
переводе). Изложение во всех этих сочинениях, как и в «Началах», подчинено строгой логике,
причем теоремы выводятся из точно сформулированных физических гипотез и математических
постулатов. Много произведений Евклида утеряно, об их существовании в прошлом нам известно
только по ссылкам в сочинениях других авторов.
1. Единица есть то, через что каждое
из существующих считается единым.
2. Число же - множество, составленнное из единиц.
"Начала" Евклида. Книга VII
"Начала" состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из
тринадцати книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.),
которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5
постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.
Книги I-IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге
V разрабатывалось учение о пропорциях. В книгах VII-IХ содержалось учение о числах,
представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах Х-ХII содержатся определения
площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в Х
книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел.
Историческое значение "Начал" Евклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка
логического построения геометрии на основе аксиоматики.
"Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым.
Число же - множество, составленное из единиц"
